主要观点总结

本文介绍了十种常见的数学问题类型，包括列方程问题、最值问题、公约公倍问题、抽屉原则问题、幻方问题、构图布数问题、溶液浓度问题、存款利率问题、商品利润问题和方阵问题。针对每种问题，文章给出了数量关系、解题思路和方法，以及相应的例题。文章旨在帮助学生更好地理解和掌握这些数学问题类型的解法。

关键观点总结

关键观点1: 数学问题类型介绍

文章介绍了十种常见的数学问题类型，包括列方程问题、最值问题、公约公倍问题等。

关键观点2: 数量关系

每种问题都有特定的数量关系，如列方程问题的等号两边数量相等，最值问题需要求出最大值或最小值等。

关键观点3: 解题思路和方法

文章给出了针对每种问题的解题思路和方法，包括公式应用、图形分析、逻辑推理等。

关键观点4: 例题解析

文章提供了多个例题，通过解析例题，帮助读者更好地理解解题思路和方法。

关键观点5: 实用性强

文章的内容实用性强，有助于读者解决日常生活中遇到的数学问题。

正文

一、列方程问题

【数量关系】 方程的等号两边数量相等。

【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

例题：甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？

第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。

找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。

列方程：90－Χ＝2Χ－30

解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50

第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。

列方程（2Χ－30）＋Χ＝90

解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50

答：甲班有50人，乙班有40人。

二、最值问题

【数量关系】 一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。

例题：在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

解：先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。

答：最少需要9分钟。

三、公约公倍问题

【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

例题：一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？

解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4。

答：正方形的边长是4厘米。

四、抽屉原则问题

【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由，得出结论。

例：家家乐学校有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？

解由于2000年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

五、幻方问题

【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。

三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。

六、构图布数问题

【数量关系】 根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。

例题：十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。

解符合题目要求的图形应是一个五角星。

4×5÷2＝10

因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。

七、溶液浓度问题

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质

浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例题：爷爷有16%的糖水50克

（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？

（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

解：（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）

答：（1）需要加水30克

（2）需要加糖10克。

八、存款利率问题

【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例题：李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，

所以总利率为（1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，

所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）

答：李大强的存款期是30月即两年半。

九、商品利润问题（又叫盈亏问题）

【数量关系】 利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例题： 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解：设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%

答：二月份比原价下降了1%。

十、方阵问题

【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）

内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

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